Bibliographie en ligne commentée
Cette page donne accès en ligne aux documents marqués d’un astérisque dans la bibliographie de Fonctions hypergéométriques.
M. Abramowitz and I. Stegun (editors), Handbook of mathematical functions, Dover, 1972
C’est une grande référence sur les fonctions spéciales. La première édition a été publiée dans les années 1950. Il s’agit d’une compilation méthodique de résultats. Mille pages de formules fascinantes sur les fonctions eulériennes, les fonctions hypergéométriques de Gauss et Kummer, les fonctions de Bessel, etc. Le livre Fonctions hypergéométriques ne donne qu’un très petit aperçu de toutes ces formules, et seulement dans le domaine réel. Toutefois, Handbook of mathematical functions ne contient pas de démonstrations. Il est à noter que ce travail a été complété et actualisé récemment en ligne. Voir
The digital library of mathematical functions
Le livre Fonctions hypergéométriques ne contient qu’une brève introduction à la théorie des fonctions elliptiques, par l’intermédiaire des intégrales elliptiques. Celles-ci sont historiquement à l’origine de la théorie et se situent dans le cadre réel. Le livre d’Appell et Lacour développe à fond la théorie dans son cadre « naturel » (fonctions de variable complexe doublement périodiques), avec de nombreuses applications à la physique. Dans ce cadre, les fonctions de Jacobi apparaissent comme un cas particulier de la théorie générale.
G. Eguether, Nombres d’Euler et de Bernoulli, Textes mathématiques, Université de Lorraine, non daté
Les nombres d’Euler et de Bernoulli, ainsi que les polynômes de Bernoulli, interviennent de manière répétée dans Fonctions hypergéométriques, notamment dans le cadre des fonctions polygamma et polylogarithme. Ce texte d’une quarantaine de pages propose une étude plus approfondie des propriétés de ces nombres et polynômes.
A. Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications, Editions Georges Carré, 1895
A la différence du livre d’Appell et Lacour, cet ouvrage introduit les fonctions elliptiques à partir des intégrales elliptiques. Le point de départ est la résolution du problème des oscillations du pendule simple, qui amène aux fonctions de Jacobi. L’aspect géométrique et physique est fortement valorisé.
Le chapitre 8 de Fonctions hypergéométriques contient une brève introduction aux formules BBP (section 8.4). Ce texte de Géry Huvent propose une étude systématique de ce sujet et permet d’aller beaucoup plus loin.
G. Huvent, Autour de la primitive de la fonction cotangente, 2002
Ce texte de Géry Huvent a fortement inspiré le chapitre 8 de Fonctions hypergéométriques (section 8.3). Il propose de nombreux autres exemples de calculs d’intégrales à l’aide de la fonction polylogarithme.
M. Kampé de Fériet, La fonction hypergéométrique, Gauthiers-Villars, 1937
Consacré à la fonction hypergéométrique de Gauss dans le cadre de la variable complexe, ce livre est un résumé des connaissances acquises sur le sujet dans les années 1930. Il est d’une lecture assez ardue et contient peu de démonstrations, car il renvoie le plus souvent aux articles de recherche originaux (la bibliographie compte plus de 130 références).
F. Tricomi, Fonctions hypergéométriques confluentes, Gauthiers-Villars, 1960
Ce livre est similaire au précédent mais il porte sur la fonction hypergéométrique de Kummer.
G. N. Watson, A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge, 1922
Il s’agit d’un des traités les plus complets sur les fonctions de Bessel. La dernière édition a été publiée en 1966. L’exposé se situe dans le cadre des fonctions de variable complexe et donne des démonstrations détaillées et très claires.
E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge, 1920
Le livre est divisé en deux grandes parties. La première partie expose la théorie des fonctions de variable complexe. La deuxième partie est consacrée aux fonctions classiques de l’analyse complexe : fonctions eulériennes, fonctions hypergéométriques de Gauss et Kummer, fonctions de Legendre, fonctions de Bessel, fonctions elliptiques, etc. Il s’agit d’un traité très complet et très clair qui prolonge parfaitement l’exposé de Fonctions hypergéométriques.